(позднелатинское sequentia - последовательность, следствие)
секвенциальные исчисления, исчисления способов заключений, модификации понятия логического исчисления (См.
Исчисление)
, в которых основными объектами преобразования являются не формулы, а т. н. секвенции, т. е. выражения вида
A1,...,
Al →
B1,...,
Bm, где → аналогична знаку выводимости,
A1,
..., Al и
B1,...,
Bm - произвольные формулы; первые - образующие антецедент секвенции, вторые - её сукцедент. При
l, m ≥ 1 секвенция
A1,..., Al →
B1,... Bm интерпретируется как формула
A1&... &A1 ⊃B1 ∨...∨ Bm.
(& - знак конъюнкции, ⊃ - импликации, ∨ - дизъюнкции, см.
Логические операции)
, секвенция с пустым антецедентом интерпретируется как истина, а секвенция с пустым сукцедентом - как ложь (и, следовательно, секвенция →, состоящая из одной стрелки, - как противоречие). Аксиомами (исходными секвенциями) в С. и. являются все секвенции вида
С →
С (и только они). Правила вывода делятся на т. н. структурные и логические. Первые кодифицируют допустимые изменения "формульного состава" антецедента и сукцедента, вторые - введение в секвенции различных логических символов. Структурные правила - это "уточнение" (добавление произвольной формулы к антецеденту или сукцеденту), "сокращение" (вычёркивание повторяющихся формул), перестановка произвольных формул в антецеденте или сукцеденте, а также "сечение"
(латинскими буквами обозначаются произвольные формулы, греческими - строчки формул, разделённых запятыми, над чертой пишется посылка правила, под чертой - заключение). Логические правила вывода имеют для секвенциального классического исчисления высказываний (См.
Исчисление высказываний) следующий вид:
;
;
.
Если и структурные, и логические правила вывода ограничить условием, согласно которому в сукцеденте каждой секвенции должно быть не более одной формулы, то получим секвенциальное интуиционистское
исчисление высказываний: это условие оказывается достаточным для невыводимости в С. и. исключенного третьего принципа (См.
Исключённого третьего принцип) (а также закона снятия двойного отрицания). Секвенциальное
Исчисление предикатов получается присоединением к предыдущим правилам ещё двух пар правил введения
Кванторов общности и существования.
Основной результат немецкого математика Г. Генцена состоит в установлении возможности приведения каждого вывода в С. и. к "нормальной форме", не содержащей применений правила сечения и тем самым представляющей в некотором смысле "прямой" вывод. Из многочисленных приложений этого результата особенно важны доказательства непротиворечивости (См.
Непротиворечивость) арифметических формальных систем, использующие математическую технику, выходящую за рамки гильбертовского финитизма (см.
Аксиоматический метод, Метаматематика)
, и тем самым обходящие в известном смысле трудности, обусловленные теоремой К. Гёделя (См.
Гёдель)
о неполноте формальной арифметики. Эта же основная теорема Генцена лежит в основе большинства алгоритмов выводимости для логических и логико-математических исчислений (см.
Разрешения проблема)
, чем и обусловлена исключительная важность С. и. для интенсивно развивающихся исследований в области машинного поиска логического вывода, являющихся важным примером моделирования (См.
Моделирование) интеллектуальной деятельности человека.
Лит.: Генцен Г., Исследования логических выводов, пер. с нем., в кн.: Математическая теория логического вывода, М, 1967, с. 9-74; его же. Непротиворечивость чистой теории чисел, там же, с. 77-153; его же, Новое изложение доказательства непротиворечивости для чистой теории чисел, там же, с. 154-90; Карри Х. Б Основания математической логики. пер. с англ., М., 1969, гл. 5С, 6B, 7B и 8B; Алгорифм машинного поиска естественного логического вывода в исчислении высказываний, М. - Л., 1965.
